PROBLEMATIZACION PROBLEMAS - MATEMATICAS

Estrategias en las matematicas
(solución de problemas matematicos)
El proceso de resolución de un problema
La resolución de un problema consiste, a grandes rasgos, en cuatro fases bien definidas:
Comprender el problema.
¿Cuál es la incógnita? ¿Cuáles son los datos?
Concebir un plan.
¿Se ha encontrado con un problema semejante?
¿Conoce un problema relacionado con este?
¿Podría enunciar el problema de otra forma?
¿Ha empleado todos los datos?
Ejecutar el plan.
¿Son correctos los pasos dados?
Examinar la solución obtenida.
¿Puede verificar el resultado?
¿Puede verificar el razonamiento?

Las fases anteriores caracterizan claramente al resolutor ideal, competente. Cada fase se acompaña de una serie de preguntas, al puro estilo socrático, cuya intención clara es actuar como guía para la acción. Los trabajos de Polya, se pueden considerar por lo tanto, como un intento de describir la manera de actuar de un resolutor ideal.
Una pregunta, ¿Por qué es tan difícil entonces, para la mayoría de los humanos, la resolución de problemas en matemáticas?
Los trabajos de Schoenfeld (1985), son por otro lado, la búsqueda inagotable de explicaciones para la conducta de los resolutores reales de problemas. Propone un marco con cuatro componentes que sirva para el análisis de la complejidad del comportamiento en la resolución de problemas.
Recursos cognitivos: conjunto de hechos y procedimientos a disposición del resolutor.
Heurísticas: reglas para progresar en situaciones dificultosas.
Control: Aquello que permite un uso eficiente de los recursos disponibles.
Sistema de creencias: Nuestra perspectiva con respecto a la naturaleza de la matemática y como trabajar en ella.
Cada uno de tales componentes explica las carencias, y por lo tanto, el poco éxito en la resolución de problemas de los resolutores reales. Así, cuando a pesar de conocer las heurísticas no se sabe cuál utilizar o cómo utilizarla se señala la ausencia de un buen control o gestor de los recursos disponibles. Pero las heurísticas y un buen control no son suficientes, pues puede que el resolutor no conozca un hecho, algoritmo o procedimiento específico del dominio matemático del problema en cuestión. En este caso se señala la carencia de recursos cognitivos como explicación al intento fallido en la resolución.
Por otro lado, puede que todo lo anterior esté presente en la mente del resolutor, pero sus creencias de lo que es resolver problemas en matemáticas o de la propia concepción sobre la matemática haga que no progrese en la resolución. La explicación, para este fallo, la contempla Schoenfeld en el cuarto elemento del marco teórico, las creencias.
Por último están las heurísticas. La mayor parte de las veces se carece de ellas. Se dispone de conocimientos específicos del tema o dominio matemático del problema, incluso de un buen control pero falla el conocimiento de reglas para superar las dificultades en la tarea de resolución.
Las heurísticas son las operaciones mentales típicamente útiles en la resolución de problemas, son como reglas o modos de comportamiento que favorecen el éxito en el proceso de resolución, sugerencias generales que ayudan al individuo o grupo a comprender mejor el problema y a hacer progresos hacia su solución.
Existe una amplia, posiblemente incompleta, lista de heurísticas. Entre las más importantes cabría citar:
Buscar un problema relacionado.
Resolver un problema similar más sencillo.
Dividir el problema en partes.
Considerar un caso particular.
Hacer una tabla.
Buscar regularidades.
Empezar el problema desde atrás.
Variar las condiciones del problema.
Sin embargo, como bien ha señalado Puig (1996), en la lista anterior aparecen demasiadas cosas juntas, que son, por otro lado, diferentes si las sometemos a un detenido análisis.
Buscar un problema relacionado es una sugerencia heurística pues se señala una dirección de trabajo, y sobre todo se recurre a la memoria del resolutor, y no a un procedimiento concreto para buscar tal problema.
Considerar un caso sí se refiere a un procedimiento en concreto que permite, a partir del problema dado, formular un problema relacionado con él. Puig (1996) denomina a este tipo de procedimientos, independientes del contenido y que permiten transformar el problema dado en otro, con el nombre de herramientas heurísticas. (Tal observación parte de una nota marginal de Polya (Polya, 1962, Vol. 2. p.84))
Por último, hacer una tabla se podría considerar como una destreza al no poseer el carácter de transformar el problema ni al recurso de la memoria como en el caso de las sugerencias heurísticas.

La característica más importante del proceso de resolución de un problema es que, por lo general, no es un proceso paso-a-paso sino más bien un proceso titubeante.
En el proceso de resolución, Schoenfeld ha señalado que tan importante como las heurísticas es el control de tal proceso, a través de decisiones ejecutivas. Tales decisiones son acerca de qué hacer en un problema. La característica más importante que define a las decisiones ejecutivas y a las acciones de control, es que tienen consecuencias globales para la evolución del proceso de resolución de un problema.
Las decisiones ejecutivas determinan la eficiencia de los conocimientos y recursos de todo tipo puestos en servicio para la resolución del problema.
Son decisiones ejecutivas:
- Hacer un plan.
- Seleccionar objetivos centrales y subobjetivos.
- Buscar los recursos conceptuales y heurísticos que parecen adecuados para el problema.
- Evaluar el proceso de resolución a medida que evoluciona.
- Revisar o abandonar planes cuando su evaluación indica que hay que hacerlo.
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Son por tanto, decisiones acerca de qué caminos tomar, pero también acerca de qué caminos no tomar.
Cuanto más precisas sean las respuestas a las preguntas:
¿Qué estoy haciendo?
¿Por qué lo hago?
¿Para qué lo hago?
¿Cómo lo usaré después?
Mejor será el control global que se tenga sobre el problema y sobre las decisiones que conducen a su solución.
Familiarízate con el problema
Trata de entender a fondo la situación
Con paz, con tranquilidad a tu ritmo
Juega con la situación, enmárcala, trata de determinar el aire del problema, piérdele el miedo
Búsqueda de estrategias
Empieza por lo fácil
Experimenta
Hazte un esquema, una figura, un diagrama
Escoge un lenguaje adecuado, una notación apropiada
Busca un problema semejante
Inducción
Supongamos el problema resuelto
Supongamos que no
Lleva adelante tu estrategia
Selecciona y lleva adelante las mejores ideas que se te han ocurrido en la fase anterior
Actúa con flexibilidad. No te arrugues fácilmente. No te emperres en una idea. Si las cosas se complican demasiado hay otra vía.
¿Salió? ¿Seguro? Mira a fondo tu solución.
Revisa el proceso y saca consecuencias de él
Examina a fondo el camino que has seguido. ¿Cómo has llegado a la solución? O bien, ¿por qué no llegaste?
Trata de entender no sólo que la cosa funciona, sino por qué funciona.
Mira si encuentras un camino más simple
Mira hasta dónde llega el método
Reflexiona sobre tu propio proceso de pensamiento y saca consecuencias para el futuro
3.3 La resolución de problemas como propuesta didáctica
En la enseñanza de las matemáticas escolares se debe poner el enfoque en la resolución de problemas.
¿Qué significa poner el enfoque en la resolución de prolemas?
Cabe al menos tres interpretaciones:
Enseñar para resolver problemas
Proponer a los alumnos más problemas.
Emplear aplicaciones de los problemas a la vida diaria y a las ciencias.
No proponer sólo ejercicios sino también problemas genuinos que promuevan la búsqueda, la investigación por los alumnos.
Enseñar sobre la resolución de problemas
Enseñanza de la heurística. El objetivo es que los alumnos lleguen a aprender y a utilizar estrategias para la resolución de problemas.
Dentro de esta tendencia hay ejemplos en los mismos trabajos citados anteriormente. Sin embargo, parece ser que las destrezas heurísticas son las más apropiadas para tal fin.
Enseñar vía la resolución de problemas
Enseñar la matemática a través de problemas.
En un seminario celebrado en La Laguna en 1982 e impartido por el profesor Gaulin (M. Fernández 1982), al ser preguntados por objetivos de la resolución de problemas, los profesores asistentes enumeran los siguientes:
Desarrollo de la capacidad de razonamiento
Aplicación de la teoría previamente expuesta.
Resolución de cuestiones que la vida diaria plantea.
La primera propuesta, aunque durante mucho tiempo fue un argumento aceptado generalmente sobre las virtudes de la educación matemática, con el paso del tiempo se ha convertido en un mito. Las dos últimas caen dentro de la primera interpretación anterior. En el mismo artículo, el autor M. Fernández que actuó como informador del seminario, concluye con la siguiente redacción: Al final, pareciéndome que el profesor buscaba algo más, me aventuré a indicar lo que creo suele olvidarse: la propuesta de problemas con el fin de elaborar una teoría, esto es, para explorar y aprender nuevos conceptos. En efecto, comentó, pese a ser eminentemente formativa, no es frecuente que se tenga en cuenta por el profesorado.
Esta es claramente la interpretación tercera de las enumeradas más arriba. Sin embargo, el comentario del Profesor Gaulin deja las cosas de nuevo en su sitio. ¿Por qué no se tiene en cuenta por el profesorado?
La propuesta didáctica
Nuestras creencias sobre qué es matemática influye en la forma en que la enseñamos.
Si por el contrario, consideramos que el conocimiento matemático no es algo totalmente acabado sino en plena creación, que más que conceptos que se aprenden existen estructuras conceptuales que se amplían y enriquecen a lo largo de toda la vida, entonces ya no bastará con la exposición. Habrá que hacer partícipe a los alumnos del propio aprendizaje. Y sólo hay una forma de hacer partícipe a los alumnos: dar significado a todo lo que se enseña.
Para desarrollar los hábitos de pensar sólo hay un camino, pensar uno mismo. Permitir que los alumnos participen en la construcción del conocimiento es tan importante a más que exponerlo. Hay que convencer a los estudiantes que la matemática es interesante y no sólo un juego para los más aventajados. Por lo tanto, los problemas y la teoría deben mostrarse a los estudiantes como relevante y llena de significado.
Si aceptamos cualquiera de las tres formas de enfoque en resolución de problemas, la primera pregunta que nos viene a la cabeza es qué estamos enseñando. Una pregunta relacionada: ¿qué aprenden los alumnos?.
: ¿Cómo enseñamos? ¿Cómo aprenden los alumnos?
Todas las propuestas que se han hecho, establecen qué enseñar. Ninguna cómo enseñar.
Por ello, un profesor de matemáticas tiene una gran oportunidad. Si dedica su tiempo a ejercitar a los alumnos en operaciones rutinarias, matará en ellos el interés, impedirá su desarrollo intelectual y acabará desaprovechando su oportunidad. Pero si, por el contrario, pone a prueba la curiosidad de sus alumnos planteándoles problemas adecuados a sus conocimientos, y les ayuda a resolverlos por medio de preguntas estimulantes, podrá despertarles el gusto por el pensamiento independiente y proporcionarles ciertos recursos para ello.
(Freudenthal, 1991, p.134).
(George Polya, prefacio a la primera edición en inglés de How to solve it. Princeton University Press. 1945)

respuesta a la interrogante

¿El aprendizaje es algo tan trivial que se puede observar y medir con base en unas simples preguntas a propósito de unos contenidos cualesquiera?

Respuesta:
Claro que no, el aprendizaje es algo mucho mas completo para medirse con preguntas que solo resuelven los objetivos de un programa, y en los cuales no están tomados en cuenta otros aspectos o (están en forma muy subjetiva), y en los cuales no están contemplados en ninguna forma los cambios que el estudiante o adquirido a lo largo de su proceso educativo, para situarlo en forma conciente en la realidad de su contexto individual. Esperamos que el alumno desarrolle sus capacidades pero desde el punto de vista de los contenidos de un programa que marca ciertos objetivos, que almacene datos, pero no es motivo para creer que esta construyendo un aprendizaje significativo y mas aún un aprendizaje situado., que es cuando el estudiante aprende y aprende por el mismo es decir, cuando por medio de su actitud está dispuesto a escuchar, a participar, a convivir, a buscar información, a trabajar con sus compañeros o sea en equipo, y a ser conciente de que lo que aprendió le va a ser útil en lo individual como en lo colectivo o social.

Mapa conceptual

CONGRUENCIA APRENDIZAJE – ENFOQUE POR COMPETENCIAS

¿Que concepciones de aprendizaje son congruentes con el enfoque por competencias?

¿Por qué?

Teoría del procesamiento de la información: para procesar la información utilizando los medios cibernéticos, los cuales son de gran ayuda en el proceso interno, porque explica los cambios que se efectúan durante el aprendizaje, sobretodo cuando se trata de recibir la información y de realizar un filtro de lo que le sirve, es decir; enseña a seleccionar al estudiante los conocimientos que son adquiridos. En otra face el estudiante puede organizar, memorizar en forma definitiva de tal manera que la información puede ser recuperada cuando el estudiante lo solicite.

Aprendizaje por descubrimiento.-

¿Por qué?, por atribuirles una participación directa a los estudiantes con la realidad. Las propuestas que me parecen que en el nuevo modelo educativo serían aplicables son:

Experimentación directa sobre la realidad, aplicación práctica de los conocimientos y su transferencia a diversas situaciones.

Aprendizaje por penetración comprensiva. El alumno experimentando descubre y comprende lo que es relevante.

Currículo en espiral: revisión y ampliación periódica de los conocimientos adquiridos.

Práctica de la inducción: de lo concreto a lo abstracto, de los hechos a las teorías.

Aprendizaje significativo:

el aprendizaje debe ser significativo, no memorístico, y para ello los nuevos conocimientos deben relacionarse con los saberes previos que posea el aprendiz. El profesor estructura los contenidos y las actividades a realizar para que los conocimientos sean significativos para los estudiantes.

¿Por qué?, porque lo que se pretende es romper con los paradigmas y los hábitos del conductismo en el que el profesor se dedicaba a realizar los contenidos de la materia previamente establecidos, el se los transmitía a los estudiantes y estos solo memorizaban sin tener una experimentación práctica en su vida cotidiana o en la realidad de su contexto individual y social. Las propuestas que me parecen aplicables con el nuevo contexto de la reforma educativa son:

Condiciones para el aprendizaje:
significabilidad lógica (se puede relacionar con conocimientos previos)
significabilidad psicológica (adecuación al desarrollo del alumno)
actitud activa y motivación.

Relación de los nuevos conocimientos con los saberes previos. La mente es como una red proposicional donde aprender es establecer relaciones semánticas.

Utilización de organizadores previos que faciliten la activación de los conocimientos previos relacionados con los aprendizajes que se quieren realizar.

Funcionalidad de los aprendizajes, que tengan interés, se vean útiles.

aprendizaje colaborativo y el aprendizaje situado, que destaca que todo aprendizaje tiene lugar en un contexto en el que los participantes negocian los significados, recogen estos planteamientos. El aula debe ser un campo de interacción de ideas, representaciones y valores. La interpretación es personal, de manera que no hay una realidad compartida de conocimientos. Por ello, los alumnos individualmente obtienen diferentes interpretaciones de los mismos materiales, cada uno construye (reconstruye) su conocimiento según sus esquemas, sus saberes y experiencias previas su contexto...

Socio-constructivismo. Basado en muchas de las ideas de Vigotski, considera los aprendizajes como un proceso personal de construcción de nuevos conocimientos a partir de los saberes previos (actividad instrumental), pero inseparable de la situación en la que se produce. Las propuestas que se acoplan al nuevo sistema educativo son: Importancia de la interacción social. Aprender es una experiencia social donde el contexto es muy importantes y el lenguaje juega un papel básico como herramienta mediadora, no solo entre profesores y alumnos, sino también entre estudiantes, que así aprenden a explicar, argumentar... Aprender significa "aprender con otros", recoger también sus puntos de vista. La socialización se va realizando con "otros" (iguales o expertos). ¿Por qué? Porque los saberes previos son fundamentales para explicar los nuevos contenidos relacionados estos con la actividad en un contexto práctico en su vida cotidiana. Además se logra una interacción entre todos los elementos componentes de la educación que intervienen en la construcción de los conocimientos a través de un dialogo permanente entre el alumno, el profesor y la sociedad en la cual se desenvuelve el primero de ellos, jugando un papel significativo cada uno de ellos. Además esto hace que se justifiquen las siguientes propuestas: Incidencia en la zona de desarrollo próximo, en la que la interacción con los especialistas y con los iguales puede ofrecer un "andamiaje" donde el aprendiz puede apoyarse.

Constructivismo. J. Piaget, en sus estudios sobre epistemología genética, desarrollo de la inteligencia y del aprendizaje en general a partir de la consideración de la adaptación de los individuos al medio. ¿Por qué? Porque considero que el desarrollo de la inteligencia es necesario para el desarrollo de sus habilidades y su adaptación al medio hace que el estudiante adquiera conocimientos de la realidad, para aplicarlos adecuadamente y sobretodo para encontrarle un sentido práctico a lo que aprende. Las propuestas que me parecen aplicables para esta corriente educativa son:

Construcción del propio conocimiento mediante la interacción constante con el medio. Lo que se puede aprender en cada momento depende de la propia capacidad cognitiva, de los conocimientos previos y de las interacciones que se pueden establecer con el medio. En cualquier caso, los estudiantes comprenden mejor cuando están envueltos en tareas y temas que cautivan su atención.

Aprender no significa ni reemplazar un punto de vista (el incorrecto) por otro (el correcto), ni simplemente acumular nuevo conocimiento sobre el viejo, sino más bien transformar el conocimiento. Esta transformación, a su vez, ocurre a través del pensamiento activo y original del aprendiz. Así pues, la educación constructivista implica la experimentación y la resolución de problemas y considera que los errores no son antitéticos del aprendizaje sino más bien la base del mismo